A imagem mostra a corrosão do aço causado pela tensão.
Introdução
Os conceitos de tensão e deformação
podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra
prismática (barra de eixo reto e de seção constante em todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática
carregada nas extremidades por forças axiais (forças que atuam no eixo da
barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas
forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o estudo desses
esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção, normal a seu
eixo. Removendo-se, por exemplo, a parte direita do corpo, os esforços internos
na seção considerada transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes esforços
estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
Para que não se altere o equilíbrio,
estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de intensidade
P.
Quando estas forças são distribuídas
perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome
de tensão normal, sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão
normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da
força P pela área da seção transversal, ou seja:
σ = P / A
A tensão tem a mesma unidade de pressão,
que, no Sistema Internacional de Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga
de 1N atuando sobre uma superfície de 1m²,
ou seja, Pa = N/m². Como a unidade
Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com frequência seus múltiplos: MPa
= N/mm², GPa = kN/mm², etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda
pode-se ser expressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm²),
libra por polegada quadrada (lb/in² ou psi), etc.
Quando a barra é alongada pela força P,
a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido
oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão.
A condição necessária para validar a equação
σ = P/A é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra.
O alongamento total de uma barra
submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta). O
alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representado
pela letra grega ε (épsilon), é dado
pela seguinte equação:
ε = δ/L, onde:
L = comprimento total da barra.
Note-se que a deformação ε é uma
quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a
deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação
específica por 10².
Diagrama
tensão-deformação
As relações entre tensões e deformações
para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração.
Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de
carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova.
Obtêm-se as tensões dividindo as forças
pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas dividindo
o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste
modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo.
Na região elástica as tensões são
diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o
diagrama é linear. Obtém-se o limite de proporcionalidade, pois, a partir de
tal ponto deixa de existir a proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma
curva que se afasta da região elástica, até que em outro ponto começa o chamado
escoamento.
O escoamento caracteriza-se por um
aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração. Neste
ponto inicia-se a região plástica.
Um outro ponto é o final do escoamento,
o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga,
atingindo o valor máximo ou tensão máxima, denominado limite máximo de
resistência. Além deste ponto, maiores deformações são acompanhadas por
reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova.
A presença de um ponto de escoamento
pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço,
que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços
quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura.
Materiais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são
classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze,
latão, níquel, etc., também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os materiais
frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de
romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica,
gesso, entre outros.
Tensão
admissível
Para certificar-se de que a estrutura
projetada não corra risco de ruína, levando em conta algumas sobrecargas
extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos
de algumas variáveis na análise da estrutura normalmente empregam-se um
coeficiente de segurança (γf), majorando-se a carga calculada. Outra forma de aplicação
do coeficiente de segurança é utilizar uma
tensão admissível (σ ou σ adm), reduzindo a tensão calculada (σ calc),
dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão admissível é normalmente
mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na região de deformação
elástica do material. Assim:
σ = σ adm = σ calc / γf
Lei
de Hooke
Os diagramas tensão-deformação ilustram
o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um
corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é
gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual
ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra
volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente
elástico; mas se o retorno não for total, o material é parcialmente elástico.
Neste último caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é
denominada deformação permanente.
A relação linear da função
tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE, em 1678, e é conhecida por Lei
de Hooke, definida como:
σ = Eε, onde:
σ = tensão normal
E = módulo de elasticidade do material
ε = deformação específica
O módulo de elasticidade representa o coeficiente
angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada
material. A lei de Hooke é valida para a fase elástica dos materiais. Por este
motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material,
vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada
solicitação sobre o material e depois somá-los.
Alguns valores de E são mostrados abaixo.
Para a maioria dos materiais, o valor do módulo de elasticidade sob compressão
ou sob tração é igual.
Propriedades
mecânicas típicas de alguns materiais
Aço – 78,5 kN/m³ e 200 a
210 GPa;
Alumínio – 26,9 kN/m³ e 70 a 80 GPa;
Bronze – 83,2 kN/m³ e 98 GPa;
Cobre – 88,8 kN/m³
e 120 GPa ;
Ferro fundido – 77,7 kN/m³ e 100 GPa;
Madeira – 0,6 a 1,2 kN/m³ e 8 a 12 GPa.
Quando a barra é carregada por tração
simples, a tensão axial é σ = P / A e a deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a
Lei de Hooke, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
δ = PL / EA
Esta equação mostra que o alongamento de
uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao
comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da
seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra.
Coeficiente
de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o
alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da
barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é
comprimida, a largura da barra aumenta.
A relação entre as deformações
transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida
como relação ou coeficiente de Poisson (v), definido como o quociente da deformação
longitudinal pela deformação lateral
Esse coeficiente é assim conhecido em
razão do famoso matemático francês S. D.
Poisson (1781-1840). Para os materiais
que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados
isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25.
Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre
0,25 e 0,35.
Se o material em estudo possuir as
mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado,
então é denominado, material isotrópico. Se o material não possuir qualquer
espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um
exemplo de material anisotrópico é a madeira, pois, na direção de suas fibras a
madeira é mais resistente.
Forma
geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso
particular da Lei de Hooke, aplicável a exemplos simples de solicitação axial.
Se forem consideradas as deformações
longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, respectivamente:
εL = σ / E e εt = νεL = υσ / E
A lei de Hooke é válida para materiais
homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν)
em todos os pontos.
Estruturas
estaticamente indeterminadas
Nos exemplos anteriores, as forças que
atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equações da
Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas. Há casos,
porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são
suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para
essas estruturas, denominadas,
estruturas estaticamente indeterminadas,
as forças e a reações só poderão ser calculadas se as deformações forem
levadas em conta.
Supõe que uma barra esteja carregada por
uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra estejam presas em suportes
rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, porém suas
intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A única
equação fornecida pelo equilíbrio estático é:
Ra + Rb = P, a qual contém ambas as
reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu
cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda equação,
que considere as deformações da barra.
Para a consideração da deformação na
barra, deve-se analisar o efeito de cada força sobre a barra se uma de suas
extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da carga P
deslocando o ponto A, na estrutura livre. O deslocamento (para baixo) do ponto A,
devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é dado por:
δ P = Pb / EA
Em seguida, analisa-se o efeito da
reação Ra deslocando do ponto A. Note-se que se está analisando o efeito da
reação Ra com a extremidade A da barra livre. O deslocamento (para cima) é dado
por:
δ R = RaL / EA
Ora, como a extremidade A da barra é
fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, resultante da ação simultânea das
forças P e Ra, é nulo. Logo:
δ R − δ P = 0 → δ P = δ R, ou seja:
Pb / EA = RaL / EA, logo:
Ra = Pb / L
Tensões
iniciais e tensões térmicas
Quando uma estrutura é estaticamente
determinada, a variação uniforme da temperatura em todo seu comprimento não
acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é capaz de se expandir ou se contrair
livremente. Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas fixas,
estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, denominadas
tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre uma
barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas extremidades.
A variação uniforme de temperatura sobre toda a barra causará o alongamento:
δ = αL∆T, onde:
α = coeficiente de dilatação térmica
L = comprimento
∆T = variação de temperatura (ºC)
Como este alongamento pode ocorrer
livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra.
Logo abaixo estão indicados coeficientes
de dilatação térmica de alguns materiais.
Valores
típicos do coeficiente de dilatação térmica
Aço – 11,7.10-6 º C-1;
Alumínio – 21,4 a 23,9.10-6 º
C-1;
Magnésio – 26,1.10-6 º C-1;
Cobre – 16,7.10-6 º C-1;
Concreto – 7,2 a 12,6.10-6 º C-1;
No caso de barras estaticamente
indeterminadas, quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se,
surgindo, como consequência, uma força de compressão que pode ser calculada
pelo método descrito no item precedente. Para a barra engastada, vê-se que, se
a extremidade A for liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo
de temperatura, será o mesmo deslocamento para baixo, decorrente da ação da
força R, ou seja, RL / EA. Igualando esses dois deslocamentos vêm:
R = EAα∆T.
Deste exemplo, conclui-se que a variação
de temperatura produz tensões em sistemas estaticamente indeterminados, ainda
que não se tenha a ação de forças externas.
Tensão
de cisalhamento
Denomina-se força cortante (V), a
componente de uma força, contida no plano da seção transversal considerada. A
força cortante é uma força que atua no próprio plano da seção transversal. A outra
componente é a força normal.
A força cortante dá lugar, em cada um
dos pontos da seção, ao aparecimento de uma tensão tangencial, denominada
tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. Admitindo-se distribuição
uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área A, tem-se, em
cada ponto da seção:
τ = V / A
A tensão de cisalhamento, como a tensão
normal, tem também a mesma unidade de pressão a qual, no Sistema Internacional
é o Pascal (Pa).
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Vídeo sobre membros carregados axialmente: estruturas
estaticamente indeterminadas, na aula de Mecânica dos Sólidos I, curso de
engenharia Civil da UESPI.
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