TRELIÇAS E VIGAS

As treliças são estruturas formadas por elementos indeformáveis, aos quais se dá o nome de barras, ligados entre si por articulações que se consideram perfeitas, os nós.

Definição de treliças

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano.

Para se calcular uma treliça deve-se:

·                    determinar as reações de apoio;

·                    determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:

2n = b + v, onde:

b = número de barras.

n = número de nós.

v = número de reações de apoio.

Adota-se como convenção de sinais:

·                    barras tracionadas: positivo (setas saindo do nó);

·                    barras comprimidas: negativo (setas entrando no nó).

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos.  Um dos vários processos analíticos usuais é o método do equilíbrio dos nós.

Método do equilíbrio dos nós

Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.

Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical.

Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical e uma

reação horizontal.

Introdução a vigas

Vigas são elementos de barras, submetidas a cargas transversais em relação a seu eixo e destinadas a vencer vão.

As cargas podem ser classificadas em relação à área, em que são aplicadas, em concentradas e distribuídas. As cargas concentradas são aquelas cuja superfície de contato com o corpo que lhe resiste é desprezível comparada com a área do corpo. As cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao longo de um comprimento ou sobre uma superfície, podendo ser uniforme ou não uniforme.

Tipos de cargas

Cargas distribuídas

As cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada equivalente, cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade.

Carga uniformemente distribuída

Carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m, kN/m)

R = carga equivalente, definida como R = q.a (área do retângulo)

O ponto de aplicação da carga equivalente é o centro de gravidade do retângulo, ou seja, x = a/2

Carga distribuída variável

·                    Triangular

O valor da carga equivalente é a área do triângulo, ou seja, R = q.a/2 e é aplicada no centro de gravidade.

Centro de gravidade: x' = 2.a/3 e x'' = a/3

·                    Trapezoidal

O valor da carga equivalente é a área do trapézio, ou seja, R = (p + q)/2 .a, e é aplicada no centro de gravidade: x = a/3 . (2p + q)/p + q

Apoios ou vínculos

Apoios ou vínculos são elementos que  restringem movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação:

Apoio móvel ou apoio fixo

• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio;

• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;

• Permite rotação.

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;

• Permite rotação.

Engastamento

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;

• Impede rotação.

Equações diferenciais de equilíbrio

Os esforços solicitantes são obtidos a partir das equações de equilíbrio que regem o comportamento das vigas. Seja a viga em balanço submetida a um carregamento genérico (q), há um equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga. Admite-se que o carregamento neste elemento de comprimento infinitesimal seja constante.

As equações diferenciais de equilíbrio são dadas por:

Equilíbrio de forças na direção vertical

∑ F_y = 0

∑ F_y = 0 ⇒ V − qdx − ( V + dV ) = 0 ⇒ dV = −qdx

dV/dx = − q, portanto, dV(x)/dx = − q(x)

Equilíbrio de momentos em relação ao equilíbrio de forças em y no ponto a

∑ M_A = 0

∑ M_A = 0 ⇒ − M − Vdx + qdx . dx/2 + (M + dM ) = 0

dM = Vdx − q dx²/2, mas, q dx²/2 = 0

V (x) = dM (x)/dx

Equações diferenciais de equilíbrio

d² M(x)/dx² = − q (x)

Notar que a expressão da força cortante V(x) possui um grau a mais que a expressão do carregamento q(x) e a expressão do momento fletor M(x) possui um grau a mais que a expressão da força cortante.

Dado um carregamento q(x) qualquer, os esforços V(x) e  M(x) são obtidos pela integração das equações diferenciais de equilíbrio, impondo condições de contorno.

Condições de contorno

Para x = 0, a força cortante é nula:

V (0) = 0 ⇒ C₁ = 0

Para x = 0, o momento fletor é nulo:

M (0) = 0 ⇒ C₂ = 0

Logo:

V (x) = − qx

M (x) = − qx²/2

Note que:

q(x) grau zero  → constante

V(x) primeiro grau  → linear

M(x) segundo grau  → parabólico

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Assista a esse vídeo que mostra a análise e a classificação das treliças.